关键词：数学核心素养；课程与教学；数学教学

2014年3月，教育部发布了《关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》，明确提出将研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准、修订课程方案和课程标准、改进学科教学的育人功能作为落实课程改革的关键领域和主要环节[1]。学生发展核心素养的研究与讨论，成为教育界乃至社会关注的重要话题。2016年9月13日，教育部公布《中国学生发展核心素养》，正式确定学生发展核心素养的框架、维度和指标。学生发展核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力[2]。学生发展核心素养的培养要体现在学校的教育教学过程之中，而学科教育占学校教育的70%以上，是学生在学校接受教育的主要途径。数学是中小学教育的主要学科之一，如何理解数学核心素养及其与学生发展素养的关系，数学核心素养有哪些重要的特征，对于小学数学教学中理解和体现核心素养的培养有重要意义。

一、数学核心素养的理解

虽然“学生的核心素养体现跨学科、综合性的能力培养”[3]，但学生发展核心素养形成，必然要通过学科教学来实现。并且每一个学科有自身的独特价值，在培养学生核心素养方面发挥特殊的作用，数学学科更是如此。

1.数学核心素养的含意。

数学核心素养是以数学课程教学为载体，基于数学学科的知识技能而形成的重要的思维品质和关键能力。数学核心素养是在数学知识技能的学习过程中形成的，有助于学生深刻理解与掌握数学知识技能。数学核心素养不等同于数学知识技能，是高于数学的知识技能，指向于学生的一般发展，反映数学学科的本质与及其赖以形成与发展的重要思想，有助于学生终身和未来发展。数学核心素养与数学课程的目标和内容密切相关，对于理解数学内容的本质，设计数学教学，以及开展数学学习评价等，有着重要的意义和价值。

一般认为，“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识、理解数学在自然、社会生活中的地位的能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。[4]”数学核心素养是数学素养中最重要的思维品质和关键能力，是人们通过数学的学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所必备的品质与能力，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。人们所遇到的问题可能是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备数学素养的人可以从数学的角度看待问题，用数学的思维方法思考问题，用数学的方法解决问题。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出数学教学中应特别重视的10个重要能力，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。可以把这10个重要能力理解为学生学习数学应达成的重要思维品质和关键能力。因此，把它们理解为数学核心素养是恰当的。正在修订的《普通高中数学课程标准》明确提出了6大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[5]。可见，普通高中课程标准中确定的数学核心素养与义务教育数学课程标准中提出的10个核心素养是一脉相承的，关键要素的表达是基本一致的。

数学核心素养反映了数学的基本思想和学习数学的关键能力。史宁中认为，数学基本思想“是数学发展所依赖、所依靠的思想”。“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”[6]。数学基本思想是研究数学科学不可缺少的思想，也是学习数学，理解和掌握数学所应追求和达成的目标。可见，数学抽象、逻辑推理、数学建模反映的是数学基本思想，是核心素养中最重要的数学思维品质。另外三个方面的核心素养，数学运算、直观想象和数据分析，可以理解为学习数学的关键能力和方法。当然，思维品质和关键能力并非截然分开的，抽象、推理和建模也是学习数学的重要能力。

上述10个方面或6个方面的数学核心素养，是中小学数学教学过程中应当特别关注的，是基于数学知识技能学习过程而形成的。同时，这些素养又对学生深刻理解数学知识技能，进而体会数学学科本质，运用数学分析和解决问题，以及学生的一般发展，都有重要作用。

2.数学核心素养与学生发展核心素养的关系。

数学核心素养与学生发展核心素养具有共同的属性，即都是核心素养，关注的都是学生深层的长远发展。核心素养关注学生一般发展，学生发展核心素养是针对学生在一个阶段的学习形成的一般发展的重要的和关键的品质和能力，如社会担当、人文底蕴、学会学习等。数学核心素养是学生学习数学的过程中形成的体现学科本质的具有一般发展属性的品质与能力。学生发展核心素养与数学核心素养二者之间有内在的联系。可以通过图1理解学生发展核心素养与数学核心素养的关系。



首先，学生发展核心素养指向学生整体的全面的发展，是学生综合素养中的核心素养。数学核心素养作为学科核心素养处于学生发展核心素养的下位，同样指向学生发展核心素养，但数学核心素养并非全部属于学生发展核心素养，学科核心素养的总和不等于学生发展核心素养。一方面，学科教学不是学校教育的全部，学生发展核心素养并非全部由学科课程与教学完成；另一方面，学科核心素养大部分指向学生发展核心素养，但也不排除其中有一小部分只是针对学科内部的思维与能力，重点解决学科知识的理解所运用的思维品质与能力。就数学学科而言，数学核心素养中可能存在对于学科本身是重要的和关键的，而在学生的整体发展方面并非关键的核心素养。如数学中的几何直观，对于解决数学问题属于关键能力，可以作为数学的核心素养之一，但对于学生的一般发展未必是关键能力。

其次，数学课程与教学是实现学生数学核心素养的重要途径，也承担着形成学生发展核心素养的任务。数学课程与教学目标具有数学学科本身的特殊性，同时又是学生全面发展的组成部分，因此，数学课程与教学的最终目标是促进学生的发展。数学的课程设计与教学过程，既关注学生的数学核心素养的形成，又关注学生发展核心素养。数学教学过程承担着数学教育目标的实现任务，也具有发展学生的一般核心素养的功能。

再次，学生发展核心素养具有跨学科性。学校设计和组织的学科教学以外的各类活动对于学生发展核心素养发挥重要作用，但不意味着学生的核心素养一定要通过跨学科的方式实现。每一个学科都有培养学生的学科素养的任务，同样也是实现学生发展核心素养的重要载体。学生的核心素养既有跨学科性，又必须通过各学科的课程教学实现。

二、数学核心素养的特征

数学核心素养既具有学生发展核心素养的属性，也具有数学学科的属性。林崇德认为，核心素养具有六个方面的特征，“核心素养是所有学生应具有的最关键、最必要的基础素养；核心素养是知识、能力和态度等的综合表现；核心素养可以通过接受教育来形成和发展；核心素养具有发展连续性和阶段性；核心素养兼具个人价值和社会价值；学生发展核心素养是一个体系，其作用具有整合性”[7]。依据数学核心素养的特征，结合对数学核心素养的理解，数学核心素养的主要特征包括综合性、学科性、关键性、阶段性和持久性。

我们可以通过一个“数的认识”教学的实例说明数学核心素养的几个特征。

“11-20的数认识”教学片段[8]：

“11-20的数认识”是学生第一次正式学习数位与数位上的值，是学习十进制计数法的开始。虽然这个内容许多学生在学前阶段就学过，但学生是否真正理解十进制数的表示方法，学生对不同数位上的数表示不同的数值是否清楚，这关系到“数感”和数的抽象等重要的数学思想。在这节课的设计上，教师针对学生可能存在的困惑，在理解这个知识的过程中，突出了数学抽象，注重学生“数感”的形成。以下的片段就是在学生具体感受古人是如何认识数的，怎样用小木棒表示12这个数等活动的基础上，提出一个富于思考的问题，引起学生的讨论和争论。

师：孩子们，我们的故事还在继续，还记得吗？聪明的古人用1个大石头和1个小石头表示出（11），我们用一捆小棒和一根小棒也能表示出（11），但是问题来了，现在只有2颗长得像这样颜色一样、大小也一样的小珠子了，还能表示11吗？

（以下的讨论表现出学生意见不一致，有人认为能，有人认为不能，教师分别请几个代表到前边来讨论，说说自己的想法）

生1：我觉得2颗小珠子是一样大的，不能表示11，只能表示2，它就是2个，不能表示11。也可以表示20.

生2：我摸的时候就像2颗，不像20。

生3：有一颗当作十位，另一颗当作个位，就可以表示11了。

生4：用一颗珠子表示10个，另一颗表示1个。

生1：2颗一样大的，就不能表示11，要是一颗大、一颗小就可以了。可是这2颗小珠子一样大呀？又不是一颗大一个小。一样大的2颗珠子，要么表示2，要么表示20，不能表示11.

师：是呀，都长得一样，你怎么能让所有人都知道到底谁是10谁是1呀？

生3：在一颗珠子上写十位，在另一颗珠子上写个位，就能区分了，就可以表示11了。

师：其实刚才他的想法和数学家的想法特别像，数学家为我们制造了计数的工具，快来看（出示计数器），认识吗？

师：这叫计数器。这是数学家帮我们发明的，看看，计数器上有好多的小位子，从右边开始第一位叫“个位”，第二位叫“十位”。

师：有了“计数器”的帮助，能不能表示出11呢？我们来看一看。

师：在黑板上画计数器，然后在个位上放一颗小珠子，表示什么？

生：1个一。

师：在十位上放1颗小珠子，这可不是1个一啦！

生：这是1个十。

师：真好，1个十和1个一合起来就是11。

上面的教学片段中，学生争论的焦点在于：用2颗相同的小珠子是否可以表示11。两种观点针锋相对，能表示11和不能表示11